PRI Open Campus ～財務総研の研究・交流活動紹介～ 2この定式化は、何らかの最終財を生産するためには、経済の中に様々なタスクがあり、それぞれのタスク（z）には0から1までの間で細かく番号がつけられていることを仮定している。各タスクの投入量はy（z）で表されており、それらが生み出すものがlny（z）という関数で表されるとする。さらに、各タスクを投入するために必要とされる機械と労働の組み合わせの方法を示す「技術」については、以下の式のような関数で表されると仮定する。ln=∫ln()10 ()=()+() ()=()+() ∙ ∙ <⋅ ⇔ < ()=()+()() <() =() ()=⋅ =()(1−)1− (),′()>0 ()=() （1）この数式は、あるタスクzを遂行するにあたり、機械m（z）と労働l（z）が完全代替であることを前提としている。αMとαLはそれぞれ機械と労働の生産性を表している。後にこの式を拡張して改めて定式化するが、まずは完全代替とはどういうことを意味しているのかを見るために、この式の意味についてもう少し考えてみよう。機械を1単位使うときのコストをR（レンタルコストと呼ばれる）、労働者を1単位用いるときのコストをW（賃金）としよう。そうすると、機械をm（z）単位、労働をl（z）単位用いるときの総費用C（z）はln=∫ln()10 ()=()+() ()=()+() ∙ ∙ <⋅ ⇔ < ()=()+()() <() =() となる。ここで、試験的に機械と労働をそれぞれ1単位用いてタスクを行うこととしよう。このとき、遂行可能なタスクはy（z）＝αM＋αLで、総費用はC（z）＝R＋Wである。もし、労働の投入をやめたとすると、タスクの量はαL減少し、費用はWだけ浮くことになる。この浮いた分の予算を用いて、機械をさらにW/R単位投入することができる。この追加的に投入された機械によって、タスクをαM∙WRだけ増やすことができる。もし、労働の投入をやめたことによって減少した分（αL）よりも、その浮いた分を機械の投入に費やすことによって増加する分（αM∙WR）が大きければ、労働の投入をとりやめて機械に代替した方がより多くのタスクを遂行することができる。この例で＊7） 労働の生産性が小さい順にタスクを並べていると解釈できる。はそれぞれ1単位の投入を行っている状況を想定したが、より多くの投入を行っている場合でも同様のことが言える。つまり、以下の関係式が成り立っているときには、労働を一切用いず、すべてのタスクについて機械を用いて行うことが望ましい：()=()+() ()=()+() ∙ ∙ <⋅ ⇔ < ()=()+()() <() =() ()=⋅ =()(1−)1− (),′()>0 ()=() （2）ここから、機械と労働のそれぞれについて、1単位当たりのコストを生産性で割った値をみて、その値が小さい方のみを生産に投入し、値が大きい方は全く投入しないことが効率的であることがわかる。これが完全代替の意味するところで、機械を使おうと労働を使おうとどちらでもタスクを遂行することができるが、代替関係にある場合には、相対的に安価なもののみが用いられる。労働をまったく使わなくてもタスクを行うことができるという特徴をうまく示せることから、この定式化が自動化技術を説明するのに有用なのである。先のタスクを遂行する技術（1）では、生産性αMとαLはともにタスクに依存しないことが仮定されていた。そのため、このままではすべてのタスクで、相対的に安価な投入のみが選択されることになる。こうした設定は現実的ではないので、より現実に近づけるために、（1）を次のように拡張する：ln=∫ln()10 ()=()+() ()=()+() ∙ ∙ <⋅ ⇔ < ()=()+()() <() =() ()=⋅ =()(1−)1− (),′()>0 （3）追加された項は、タスクを遂行することにどれだけ労働が貢献するかを示す労働の生産性γ（z）が、タスクごとに異なるという特徴を導入するものである。さらに、γ'（z）＞0とする。すなわち、タスクのインデックスが大きくなればなるほど、γ（z）が大きくなるということである＊7。タスクのインデックスが大きくなるほど、同じ労働投入量で遂行できるタスクが増えるので、機械を使う場合に対する労働を使うことが有利となる（これを労働の比較優位性が高まるという）。 ファイナンス 2021 Dec.57連載PRI Open Campus
元のページ ../index.html#61