気を付けるべき点はボラティリティは121=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック76モデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格気を付けるべき点はボラテ一定の値になっている点ですルの場合、ボラティリティ・ティリティに対してこのようこの式を用いてオプション価格0、権利行使価格、満期オプションのプレミアムを計方法を確認しておきます。先（=151.5）、安全利子率は（は年表示であるため、=2.75とすると、プット・オプます。1=−0.686952=このケースはを決めた上ションが市場で取引されてを下に、を逆算します。このラティリティ（）になりま具体的にはハル（）の第ここではとしてか月円は正規分布の累積分布関数クセルの関数を用いれば簡単に計、権利行使価格121=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラィリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・プションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期はは年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができす。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプョンが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエセルの関数を用いれば簡単に計算できます。、満期121=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。、金利1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。、ボラティリティ=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。を代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は152.49円（201ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=152.49）、権利行使価格は151.5円（ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたがティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコールオプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えま2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出すます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られこのケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際にはションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場を下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=151.5）、安全利子率は0.023%（20ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2√2=ln(0/)−2/2√=気を付けるべき点はボラティリティはとなっており一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになるティリティに対してこのような想定を置くことからきてこの式を用いてオプションの国債先物オプションの価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリテオプションのプレミアムを計算することができます。こ方法を確認しておきます。先物価格は円（0=（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）はます。1=−0.686952=−0.6774となることから、このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出ションが市場で取引されてが決定されます。そのためを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックラティリティ（）になります。もっとも、に対応す具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=0.0023）＊19、現時点は2020/5/2、満期は2020/6/15（=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。は年表示であるため、=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すれオプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）によます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、ションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算を下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルかラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算する具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおりクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここでズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=0.0275とすると、プット・オプションのプレミアム（ブラックモデル（ブラ服部（）では、ブラックック教授が年に発表した論文ズ・モデルにおける株価をフォワーはもう少し具体的に同モデルについハル（）に記載しているとおプレミアム、をプット・オプショ=ここで、1と2は下記の通りです2=ln気を付けるべき点はボラティリテ一定の値になっている点です。本稿ルの場合、ボラティリティ・スマイティリティに対してこのような想定この式を用いてオプションの国債価格0、権利行使価格、満期、金オプションのプレミアムを計算する方法を確認しておきます。先物価格（=151.5）、安全利子率は（は年表示であるため、=0.12）2.75とすると、プット・オプションます。1=−0.686952=−0.677このケースはを決めた上で式（ションが市場で取引されてが決定を下に、を逆算します。この時算出ラティリティ（）になります。も具体的にはハル（）の第章をここではとしてか月円を用は正規分布の累積分布関数ですがクセルの関数を用いれば簡単に計算でき）は式（2）により算出することができます。具体的には、ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説はもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコープレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しまティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればオプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算ます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際ションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算でを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからイラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するに具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=－0.687, ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデルック教授が年に発表した論文で提案されたモデルでありズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルでプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることをティリティに対してこのような想定を置くことからきていますこの式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミ価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.4（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプシ2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（ます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.2このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際を下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=－0.677となることから、 ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。=0.214が得られます＊20。このケースはックモデル（ブラック・モデル））では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここで体的に同モデルについて考えます。）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのをプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√べき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、っている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ対してこのような想定を置くことからきています。いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・プレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算ておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期はであるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができ0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。はを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプで取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々なル（）の第章をご参照ください。してか月円を用いています。布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエ用いれば簡単に計算できます。を決めた上で式（2）を用いてブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しましたはもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オププレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、こティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びオプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。こ2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出するこます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られますこのケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債ションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得を下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。を算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・ック教授が年に発表した論文で提案されたモデルズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモはもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとす=−[0(1)−=−[(−2)−0ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2√2=ln(0/)−2/2√=気を付けるべき点はボラティリティはとなっており一定の値になっている点です。本稿ではブラック・シルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになるティリティに対してこのような想定を置くことからきこの式を用いてオプションの国債先物オプションの価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリテオプションのプレミアムを計算することができます。こ方法を確認しておきます。先物価格は円（0（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）ます。1=−0.686952=−0.6774となることから、このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出ションが市場で取引されてが決定されます。そのためを下に、を逆算します。この時算出されたがブラッラティリティ（）になります。もっとも、に対応す具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載を下に、ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説はもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコープレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通り=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればオプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算ます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際ションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算でを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからイラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するに具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。を逆算します。この時算出されたラックモデル（ブラック・モデル））では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここで具体的に同モデルについて考えます。）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションの、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√るべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、なっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラに対してこのような想定を置くことからきています。用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・のプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=と、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができ−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。スはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプ場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボィ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々なハル（）の第章をご参照ください。としてか月円を用いています。分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエを用いれば簡単に計算できます。がブラック76モデルからインプライされるボラティリティ（IV）になります。もっとも、ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。に対応するブラックモデル（ブラック・モデル））では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラが年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここでし具体的に同モデルについて考えます。）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラィに対してこのような想定を置くことからきています。を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・ンのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円1.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=ると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができ=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。ースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプ市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々なはハル（）の第章をご参照ください。としてか月円を用いています。正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエ数を用いれば簡単に計算できます。を計算するには、例えば、様々なブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。を式（2）に代入してブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラックック教授が年に発表した論文で提案されたモデズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したはもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックプレミアム、をプット・オプションのプレミアムと=−[0(1)−=−[(−2)−ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+√2=ln(0/)−2/2√=気を付けるべき点はボラティリティはとなってお一定の値になっている点です。本稿ではブラック・シルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになティリティに対してこのような想定を置くことからきこの式を用いてオプションの国債先物オプション価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリオプションのプレミアムを計算することができます。方法を確認しておきます。先物価格は円（（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、（は年表示であるため、=0.12）である日本国債2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（ます。1=−0.686952=−0.6774となることからこのケースはを決めた上で式（）を用いてを算ションが市場で取引されてが決定されます。そのたを下に、を逆算します。この時算出されたがブラッラティリティ（）になります。もっとも、に対応具体的にはハル（）の第章をご参照ください。を算出し、ちょうど市場価格のブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々なに等しくなるブラックモデル（ブラック・モデル）部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここでう少し具体的に同モデルについて考えます。ル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]こで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラリティに対してこのような想定を置くことからきています。の式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・ションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=すると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができ。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。のケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプンが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるに、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボィリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な的にはハル（）の第章をご参照ください。ではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエの関数を用いれば簡単に計算できます。を見つけてくるなど、数値計算が必要になります。なお、服部（2020a）で記載したとおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプションですが、ブラック76モデルはヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのため、日本国債先物オプションのIVを算出する際、ブラック76モデルを用いることは、日本国債先物オプションが事実上、ヨーロピアン・タイプのオプションとして取引されていると想定している点に注意してください。服部（2020a）でも記載しましたが、日本国債先物オプションが満期前に行使されることはほとんどありません。上記では（1）と（2）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要になりますが、同モデルの導出を説明した書籍は大量にありますので、この導出は他の書籍に譲ります。例えば、ブラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハル（2016）、バクスター・レニー（2001）、村上（2015）などを参照してください。BOX 2 日本国債VIXとモデル・フリー・インプライド・ボラティリティブラック76モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債VIXではブラック76モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけではない点に注意が必要です。近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック76モデルという特定のモデルを使わずにインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。これを特定のモデルに基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。＊19） ここではクモデル（ブラック・モデル）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールる株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここで的に同モデルについて考えます。に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√き点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、ている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモディリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラしてこのような想定を置くことからきています。てオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・レミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算おきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円全利子率は（=0.023）、現時点は、満期はとして6か月円LIBORを用いています。＊20） ブラックモデル（ブラック・モデル）服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。ハル（）に記載しているとおり、ブラックモデルではをコール・オプションのプレミアム、をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。=−[0(1)−(2)]=−[(−2)−0(1)]ここで、1と2は下記の通りです。1=ln(0/)+2/2√2=ln(0/)−2/2√=1−√気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想定を置くことからきています。この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格0、権利行使価格、満期、金利、ボラティリティを代入すればコール及びプット・オプションのプレミアムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（0=152.49）、権利行使価格は円（=151.5）、安全利子率は（=0.023）、現時点は、満期は（は年表示であるため、=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（）は式（）により算出することができます。1=−0.686952=−0.6774となることから、=0.213677が得られます。このケースはを決めた上で式（）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市場で取引されてが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られるを下に、を逆算します。この時算出されたがブラックモデルからインプライされるボラティリティ（）になります。もっとも、に対応するを計算するには、例えば、様々な具体的にはハル（）の第章をご参照ください。ここではとしてか月円を用いています。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（2016）に記載しているとおり、NORMDSITというエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。54 ファイナンス 2020 Jul.ＳＰＯＴ
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